آموزش ریاضی

آموزش ریاضی راهنمایی

نکات دایره

نکات دایره

برخی از قضایای مربوط به دایره.

Theorem A
قضیه‌ي A
A straight line drawn from the centre of a circle to bisect a chord which is not a diameter, is at right angles to the chord
خطی که مرکز دایره را به وسط وتری از آن وصل می‌کند بر آن وتر عمود است.

22109/pg_1.gif

+A chord is a line segment joining two points on a circle
وتر پاره خطی است که دو سر آن روی محیط دایره است.


Theorem B
قضیه‌ی B
There is only one circle which passes through three given points which are not in a straight line.
از هر سه نقطه که روی یک خط مستقیم نیستند فقط و فقط یک دایره وجود دارد که از هر سه نقطه می‌گذرد.
 


Theorem C
قضیه‌ی C

Equal chords of a circle are equidistant from the centre and visa versa.
اگر در یک دایره دو وتر متساوی باشند، فاصله‌ی مرکز دایره از آنها به یک اندازه است.

22109/pg_2.gif

+

 

A tangent is a line intersecting the circle at only one point.
خطی که با دایره فقط یک نقطه مشترک داشته باشد، خط مماس بر دایره نامیده می‌شود.
 


Theorem D
قضیه‌ی D

The tangent to a circle and the radius through the point of contact are perpendicular to each other.

 خط مماس بر دایره و شعاع آن نقطه‌ی برخورد، بر هم عمود هستند.

13108/img_pg3.jpg

+


Theorem E
قضیه‌ی E
 
The angle which an arc of a circle subtends at the centre is double that which it subtends at any point on the remaining part of the circumference.
زاویه‌ی مرکزی :‌ زاویه‌ای است که راس آن روی مرکز دایره و دو ضلع آن شعاعهای دایره باشد. اندازه زاویه مرکزی برابر کمان روبرو می‌باشد.
زاویه‌ی محاطی: زاویه‌ای است که راس آن روی محیط دایره و دو ضلع آن وترهایی از دایره باشد. اندازه زاویه محاطی نصف کمان روبرو می‌باشد.

22109/pg_4.gif

+



Theorem F
قضیه‌ی F
Angles in the same segment of a circle are equal.
زاویه‌های مقابل به یک کمان‌، مساوی هستند.

22109/pg_5.gif

+



Theorem G
قضیه‌ی G

The angle in a semicircle is a right angle.

 زاویه‌ي مقابل به قطر (نصف دایره)، ۹۰ درجه است.

22109/pg_5_1.gif

+


Theorem H
قضیه‌ی H

The opposite angles of any quadrilateral inscribed in a circle are supplementary.

 در هر چهارضلعی محاطی زوایای روبرو مکمل همدیگرند و به عکس.

22109/gm_10.gif

+


Theorem I
قضیه‌ی I

If a straight line touches a circle and from the point of contact a chord is drawn, the angles which this tangent makes with the chord are equal to the angles in the alternate segment.

 زاویه‌ی ظلی : زاویه‌ای است که راس آن روی محیط دایره و یک ضلع آن بر دایره مماس و ضلع دیگر وتری از دایره باشد. اندازه زاویه‌ی ظلی نصف کمان روبرو می‌باشد.

22109/pg_7.gif

+

Example 1:  Supplementary
مثال ۱ : مکمل
Problem
To Prove
A line DE parallel to the base BC of the triangle ABC cuts AB, AC at D and E respectively. The circle which passes through D and touches AC at E meets AB at F. Prove that F,E,C,B, lie on a circle.
مسئله: در مثلث ABC ، خط DE را موازی با ضلع BC رسم می‌کنیم تا اضلاع ABو AC را به ترتیب در نقاط D و E قطع کند.
دایره‌ای را که از نقطه Dگذشته و بر خط AC مماس باشد رسم می‌کنیم تا ضلع AB را در نقطه‌ی F قطع کند
ثابت کنید که F,E,C,B روی یک دایره قرار دارند.
22109/gm_20.gif
+
Construction

Draw the line FE

Proof
Angle\;CED = Angle\;EFD \;\;\;\;(Theorem\;i)

Since DE is parallel to BC the angles CED and BCA are supplementary Hence the angles BCA and EFDare supplementary

Solution
Conclusion
from Theorem H above the points F,E,C,B, lie on a circle.


Example 2 : 4 points on a circle

مثال ۲ : ۴ نقطه روی یک دایره

In a triangle ABC, the side AB is greater than the side AC and D is a point on AB such that AD = AC. The internal bisectors of the angles B and C meet at I. Show that the four points B,D,I,C lie on a circle.

در مثلث ABC ، ضلع AB از ضلع AC بزرگتر است . نقطه‌ی D را طوری روی ضلع AB انتخاب کرده‌ایم که AD = AC

نیم‌سازهای داخلی زاویه‌های B و C یکدیگر را در نقطه‌ی I قطع می‌کنند ثابت کنید که چهار نقطه B,D,I,C روی یک دایره قرار دارند؟

22109/gm_21.gif
+

Proof
Since AD = AC the triangle ADC is Isosceles.
therefore

Angle\; ADC  = Angle\;DCA

The sum of the internal angles of a triangle is 180 degrees
therefore

2\times angle\; ADC  + angle \;CAD = 180^0

or

angle\;ADC = 90^0 - \frac{1}{2}\;angle\;CAD

So the angle CDB is the supplement of angle ADC
therefore

angle\;CDB = 180^0\;-(90^0 - \frac{1}{2}A) = 90^0 + \frac{1}{2}\;angle \;CAD

since

angle\;IBC = \frac{1}{2}\;angle\; DBC\;\;\;and\;\;\;angle\; BCI = \frac{1}{2}\;angle\;BCI

From the triangle IPCit can be seen that :

angle\;CIB = 180^0 - \frac{1}{2}\;angle\;ABC - \frac{1}{2}\;ACB
= 180^0 - \frac{1}{2}(180^0 - angle\;CAD) = 90^0 + \frac{1}{2}\;angle\; CAD

therefore

angle\;CDB = angle\;CIB

As these two angles are equal it can be seen that they satisfy the converse of Theorem (f).

Solution
Conclusion The points B,D,I,C lie on a circle.

 

+ نوشته شده در  دوشنبه یازدهم اردیبهشت 1391ساعت 16:19  توسط   |